ધારો કે સદિશો $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ છે. કોઈ $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ માટે, ધારો કે $\vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$ છે. જો $\vec{c} \cdot (3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = 10$ અને $\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -2$ હોય, તો $|\vec{c}|^2$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુઓ $P(1, -1, 3)$ અને $Q(2, -4, 11)$ ને જોડતા રેખાખંડનો,બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$ અને $B(3, -2, 10)$ ને જોડતી રેખા પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

$x$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશો $\vec{a} = x\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય અને સદિશ $\vec{b}$ તથા $y$-અક્ષ (કોટિ અક્ષ) વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય?

જો $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\overline{p}=\frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{q}=\frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{r}=\frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \quad$ તો $2 \overline{a} \cdot \overline{p}+\overline{b} \cdot \overline{q}+\overline{c} \cdot \overline{r}=$

$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ નો $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ શોધો.

સદિશોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$.