एक समलंब $ABCD$ की समांतर भुजाओं $AB$ और $DC$ के मध्य-बिंदुओं $M$ और $N$ को मिलाने वाला रेखाखंड दोनों भुजाओं $AB$ और $DC$ पर लंब है। सिद्ध कीजिए कि $AD = BC$ है।
(N/A) $MD$ और $MC$ को मिलाइए।
$\Delta DMN$ और $\Delta CMN$ में:
$DN = CN$ [चूंकि $N$,$DC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle DNM = \angle CNM = 90^{\circ}$ [दिया है]
$MN = MN$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\Delta DMN \cong \Delta CMN$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसका अर्थ है कि $DM = CM$ और $\angle NMD = \angle NMC$ ... $(1)$ [$CPCT$]
अब,$\Delta AMD$ और $\Delta BMC$ पर विचार कीजिए:
$AM = BM$ [चूंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है]
$DM = CM$ [$(1)$ से]
$\angle AMD = \angle AMN - \angle NMD$
$\angle BMC = \angle BMN - \angle NMC$
चूंकि $\angle AMN = \angle BMN = 90^{\circ}$ और $\angle NMD = \angle NMC$,इसलिए $\angle AMD = \angle BMC$ ... $(2)$
अतः,$\Delta AMD \cong \Delta BMC$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इस प्रकार,$AD = BC$ [$CPCT$]।
$\Delta DMN$ और $\Delta CMN$ में:
$DN = CN$ [चूंकि $N$,$DC$ का मध्य-बिंदु है]
$\angle DNM = \angle CNM = 90^{\circ}$ [दिया है]
$MN = MN$ [उभयनिष्ठ भुजा]
अतः,$\Delta DMN \cong \Delta CMN$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इसका अर्थ है कि $DM = CM$ और $\angle NMD = \angle NMC$ ... $(1)$ [$CPCT$]
अब,$\Delta AMD$ और $\Delta BMC$ पर विचार कीजिए:
$AM = BM$ [चूंकि $M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है]
$DM = CM$ [$(1)$ से]
$\angle AMD = \angle AMN - \angle NMD$
$\angle BMC = \angle BMN - \angle NMC$
चूंकि $\angle AMN = \angle BMN = 90^{\circ}$ और $\angle NMD = \angle NMC$,इसलिए $\angle AMD = \angle BMC$ ... $(2)$
अतः,$\Delta AMD \cong \Delta BMC$ [$SAS$ सर्वांगसमता नियम द्वारा]
इस प्रकार,$AD = BC$ [$CPCT$]।
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$(1)$ $\Delta XYZ$ में,यदि $XY > XZ$ है,तो $\angle Z > \angle Y$ होगा।
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