रेखाएँ $x+y=1$ और $3y=x+3$ दीर्घवृत्त $x^{2}+9y^{2}=9$ को बिंदुओं $P, Q$ और $R$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $\triangle PQR$ का क्षेत्रफल है

एक दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $(4, -1)$ स्थित है और इसकी अक्षें निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। यदि रेखा $x + 4y - 10 = 0$ इस बिंदु पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा है,तो इसका समीकरण ज्ञात कीजिए $(a > b)$।

दीर्घवृत्तों के संग्रह $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ और आयतों के संग्रह $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ में अंतर्निहित सबसे बड़े क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $E_{18}$ और $E_{19}$ की उत्केंद्रता समान नहीं है
$(2)$ $E_9$ में केंद्र से नाभि की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए

एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b)$ को क्रमशः $2a$ और $2b$ विमाओं वाले एक आयत में अंतर्निहित किया गया है। यदि आयत के विकर्णों के बीच का कोण $\tan^{-1}(4\sqrt{3})$ है,तो उस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(2, -3)$ पर,नाभि $(3, -3)$ पर और एक शीर्ष $(4, -3)$ पर है।

उत्केंद्रता $e$ वाले दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक चर बिंदु $P$ पर अभिलंब,दीर्घवृत्त के अक्षों को $Q$ और $R$ पर मिलता है। तो $QR$ के मध्य-बिंदु का बिंदुपथ एक शांकव है जिसकी उत्केंद्रता $e'$ है,तो: