आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ की $m$ प्रवणता वाली समांतर जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ है

अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1$ की एक स्पर्श रेखा $x-$अक्ष को $P$ पर और $y-$अक्ष को $Q$ पर मिलती है। रेखाएँ $PR$ और $QR$ इस प्रकार खींची गई हैं कि $OPRQ$ एक आयत है (जहाँ $O$ मूलबिंदु है)। तब $R$ स्थित है

उस अतिपरवलय (hyperbola) का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $e = 2$ है और जिसकी नाभियों के बीच की दूरी $8$ है।

अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 + 72x - 32y - 16 = 0$ के नाभिलंब की लंबाई है

मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$,जहाँ $a > b > 0$,$xy$-समतल में एक अतिपरवलय है जिसका संयुग्मी अक्ष $LM$ इसके एक शीर्ष $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। मान लीजिए त्रिभुज $LMN$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{3}$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$P$. $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई है	$1$. $8$
$Q$. $H$ की उत्केंद्रता है	$2$. $\frac{4}{\sqrt{3}}$
$R$. $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है	$3$. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
$S$. $H$ के नाभिलंब की लंबाई है	$4$. $4$

सही विकल्प है:

कथन: अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 = 9$ पर स्थित बिंदुओं $P(\frac{\pi}{4})$ और $P(\frac{\pi}{3})$ के बीच की दूरी $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ है।
कारण: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के प्राचलिक समीकरण हैं।