$List-I$ ને $List-II$ સાથે જોડો:
| | $List-I$ ($x-y$ આલેખ) | | $List-II$ (પરિસ્થિતિ) |
|---|---|---|---|
| $(a)$ | અવમંદિત દોલનનો આલેખ | $(i)$ | કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષી છે |
| $(b)$ | સુરેખ આલેખ $y = -kx$ | $(ii)$ | લોલક નહિવત હવાના અવરોધ હેઠળ દોલન કરે છે |
| $(c)$ | સરળ આવર્ત ગતિનો આલેખ | $(iii)$ | સ્પ્રિંગનું પુનઃસ્થાપક બળ |
| $(d)$ | ઉર્જા સંરક્ષણનો આલેખ (ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાના વક્રો) | $(iv)$ | લોલક હવાના અવરોધ હેઠળ દોલન કરે છે |
નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ તમામ પ્રકારની ગતિશીલ સમસ્યાઓના વિશ્લેષણમાં ઉપયોગી સાધનો છે. જ્યારે પ્રારંભિક સ્થાન અને વેગમાન બદલાય ત્યારે ગતિમાં થતા ફેરફારોનો અભ્યાસ કરવામાં તે ખાસ કરીને ઉપયોગી છે. અહીં આપણે એક પરિમાણમાં કેટલીક સરળ ગતિશીલ પ્રણાલીઓનો વિચાર કરીએ છીએ. આવી પ્રણાલીઓ માટે, ફેઝ સ્પેસ એ એક સમતલ છે જેમાં સ્થાનને આડી ધરી પર અને વેગમાનને ઊભી ધરી પર આલેખવામાં આવે છે. ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ એ આ સમતલમાં $x(t)$ વિરુદ્ધ $p(t)$ વક્ર છે. વક્ર પરનું તીર સમયનો પ્રવાહ સૂચવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અચળ વેગ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ એક સીધી રેખા છે. આપણે ચિહ્ન સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જેમાં ઉપરની તરફ (અથવા જમણી તરફ) સ્થાન અથવા વેગમાન ધન છે અને નીચેની તરફ (અથવા ડાબી તરફ) ઋણ છે.
$1.$ જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ કયો છે?
$2.$ સરળ આવર્ત ગતિ માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ છે. આકૃતિમાં, બે વર્તુળો સમાન ઓસિલેટરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પરંતુ અલગ-અલગ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ માટે, અને $E_1$ અને $E_2$ અનુક્રમે કુલ યાંત્રિક ઉર્જા છે. તો:
$(A) E_1 = \sqrt{2} E_2$
$(B) E_1 = 2 E_2$
$(C) E_1 = 4 E_2$
$(D) E_1 = 16 E_2$
$3.$ પાણીમાં ડૂબેલા દળ સાથેની સ્પ્રિંગ-માસ સિસ્ટમનો વિચાર કરો, જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આ સિસ્ટમના એક ચક્ર માટે ફેઝ સ્પેસ ડાયાગ્રામ કયો છે?
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

સરળ આવર્ત ગતિ કરતા એક કણનો કંપવિસ્તાર $6\, cm$ છે. મધ્યમાન સ્થાનથી $2\, cm$ અંતરે તેનો પ્રવેગ $8\, cm/s^2$ છે. તો કણની મહત્તમ ઝડપ ... $cm/s$ છે.

કોઈ બળ $F_1$ ને કારણે એક પદાર્થ $4/5 \, s$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે અને બીજા બળ $F_2$ ને કારણે તે $3/5 \, s$ ના આવર્તકાળ સાથે દોલન કરે છે. જો બંને બળો એકસાથે કાર્ય કરે,તો નવો આવર્તકાળ .... $s$ થશે.

એક વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ નાના દોલનો કરતા સાદા લોલક જેટલો જ છે. હવે, આ બંનેને $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ જતી લિફ્ટમાં મૂકવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળ અને લોલકના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો થશે? (ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$ લો)

$r$ ત્રિજ્યા અને $m$ દળ ધરાવતી તકતીનું કેન્દ્ર $R > r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની અંદર $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલું છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. સ્પ્રિંગનો બીજો છેડો રીંગની પરિઘ પર જોડાયેલ છે. રીંગ અને તકતી બંને એક જ ઉર્ધ્વ સમતલમાં છે. તકતી ફક્ત રીંગની અંદરની પરિઘ પર સરક્યા વિના ગબડી શકે છે. સ્પ્રિંગ ફક્ત હૂકના નિયમનું પાલન કરીને રીંગની પરિઘ પર ખેંચાઈ કે દબાઈ શકે છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,તકતી રીંગના તળિયે છે. તકતીનું નાનું સ્થાનાંતર ધારતા,તકતીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ તરીકે લખાય છે. $\omega$ માટેનું સાચું સૂત્ર છે ($g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે):