List-I की वस्तुओं को List-II की वस्तुओं के सा | vedclass

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Question

(A) $A)$ $\cos ^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ है।$\Rightarrow 1+\cos ^2 x \in [1, 2]$.$\Rightarrow [1+\cos ^2 x] \in \{1, 2\}$.$\Rightarrow \sec ^{-1}[1+\cos

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$A-V, B-IV, C-I, D-II$

Vedclass · Answer

(A) $A)$ $\cos ^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ है।$\Rightarrow 1+\cos ^2 x \in [1, 2]$.$\Rightarrow [1+\cos ^2 x] \in \{1, 2\}$.$\Rightarrow \sec ^{-1}[1+\cos ^2 x] \in \{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\}$. अतः, $A-V$.$B)$ दिया है $f(x+\frac{1}{x}) = x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$.माना $t = x+\frac{1}{x}$। फलन $f(t) = t^2-2$ के लिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ $R$ है। अतः, $B-IV$.$C)$ $f(x+y) = f(x)+f(y)$ कौशी का कार्यात्मक समीकरण है, इसलिए $f(x) = kx$.$f(1) = 5$ दिया गया है, इसलिए $k(1) = 5 \Rightarrow k = 5$.अतः $f(x) = 5x$, जो एक विषम फलन है क्योंकि $f(-x) = 5(-x) = -f(x)$। अतः, $C-I$.$D)$ $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = 0$.$x=0$ के लिए: $\sin ^{-1}(0) - \cos ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$. (सही)$x=\frac{1}{2}$ के लिए: $\sin ^{-1}(\frac{1}{2}) - \cos ^{-1}(\frac{1}{2}) + \sin ^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 0$. (सही)अतः, $D-II$.

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ का परिसर, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है	$I$. विषम फलन
$B$. $f(x)$ का प्रांत जहाँ $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$

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