सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2fy + 2gx + c = 0$ से मिश्र पद $xy$ को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,जहाँ $\tan 2\theta$ का मान क्या होगा?

एक रेखा $L$ के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $b$ हैं। जब अक्षों को मूलबिंदु को स्थिर रखते हुए एक दिए गए कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो इस रेखा $L$ के अंतःखंड $p$ और $q$ हो जाते हैं। तब

जब अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूलबिंदु को $(-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

बिंदु $P(1,4)$ निम्नलिखित तीन रूपांतरणों से क्रमिक रूप से गुजरने के बाद क्रमशः $A, B$ और $C$ स्थान प्राप्त करता है:
$I$. रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
$II$. $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई की दूरी का स्थानांतरण।
$III$. मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में रेखा $OB$ का $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन। तो,$C$ के निर्देशांक क्या हैं?

मान लीजिए $P$ वह बिंदु है जहाँ अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूलबिंदु को स्थानांतरित किया जाता है ताकि समीकरण $3x^2+y^2-6x+4y+4=0$ से प्रथम घात के पदों को हटाया जा सके। यदि अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूलबिंदु को $P$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो $2x^2+3xy-5y^2+2x-23y-24=0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

जब अक्षों को $36^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो $x^2+y^2=r^2$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?