समतल में द्विविमीय गति का अध्ययन स्थिति,वेग और त्वरण को कार्तीय निर्देशांकों में $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ के रूप में व्यक्त करके किया जा सकता है,जहाँ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ क्रमशः $x$ और $y$ दिशाओं में इकाई सदिश हैं और $A_{x}$ और $A_{y}$ $\vec{A}$ के संगत घटक हैं। गति का अध्ययन वृत्तीय ध्रुवीय निर्देशांकों में सदिशों को $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ के रूप में व्यक्त करके भी किया जा सकता है,जहाँ $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ और $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ उन दिशाओं में इकाई सदिश हैं जिनमें $r$ और $\theta$ बढ़ रहे हैं।
$(a)$ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ को $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
$(b)$ दर्शाइए कि $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ दोनों इकाई सदिश हैं और एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$(c)$ दर्शाइए कि $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,जहाँ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$ है।
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ द्वारा दी गई सर्पिल गति करने वाले कण के लिए,जहाँ $a = 1$ (इकाई),$a$ की विमा ज्ञात कीजिए।
$(e)$ $(d)$ में वर्णित सर्पिल पथ पर गति करने वाले कण के लिए ध्रुवीय सदिश निरूपण में वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया है $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ $(i)$ और $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ (ii)।
$(i)$ को $\cos \theta$ से और (ii) को $\sin \theta$ से गुणा करके घटाने पर: $\hat{r} \cos \theta - \hat{\theta} \sin \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \hat{i} = \hat{i}$।
$(i)$ को $\sin \theta$ से और (ii) को $\cos \theta$ से गुणा करके जोड़ने पर: $\hat{r} \sin \theta + \hat{\theta} \cos \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \hat{j} = \hat{j}$।
$(b)$ $|\hat{r}| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$ और $|\hat{\theta}| = \sqrt{(-\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta} = 1$। दोनों इकाई सदिश हैं।
$\hat{r} \cdot \hat{\theta} = (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) = 0$। अतः,वे परस्पर लंबवत हैं।
$(c)$ $\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} + \cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = \omega(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = \omega \hat{\theta}$।
इसी प्रकार,$\frac{d\hat{\theta}}{dt} = \frac{d}{dt}(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = -\cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} - \sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = -\omega(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\omega \hat{r}$।
$(d)$ दिया गया है $\vec{r} = a\theta \hat{r}$। चूंकि $\theta$ विमाहीन है,$[r] = [a]$। अतः,$a$ की विमा लंबाई $[L]$ है।
$(e)$ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(a\theta \hat{r}) = a\dot{\theta}\hat{r} + a\theta\dot{\hat{r}} = a\omega\hat{r} + a\theta\omega\hat{\theta}$।
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega\dot{\hat{r}} + a\dot{\theta}\omega\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} + a\theta\omega\dot{\hat{\theta}} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega^2\hat{\theta} + a\omega^2\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} - a\theta\omega^2\hat{r} = (a\dot{\omega} - a\theta\omega^2)\hat{r} + (2a\omega^2 + a\theta\dot{\omega})\hat{\theta}$।