સમતલમાં દ્વિ-પરિમાણીય ગતિનો અભ્યાસ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સ્થાન,વેગ અને પ્રવેગને સદિશ $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ તરીકે દર્શાવીને કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ દિશામાં એકમ સદિશ છે અને $A_{x}$ અને $A_{y}$ એ $\vec{A}$ ના અનુરૂપ ઘટકો છે. ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં સદિશોને $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ તરીકે દર્શાવીને પણ કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ અને $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ એ $r$ અને $\theta$ વધતી દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(a)$ $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ને $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$(b)$ સાબિત કરો કે $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ બંને એકમ સદિશ છે અને એકબીજાને લંબ છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,જ્યાં $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ અને $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$.
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ દ્વારા આપવામાં આવતી સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે,જ્યાં $a = 1$ (એકમ),$a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધો.
$(e)$ $(d)$ માં વર્ણવેલ સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે ધ્રુવીય સદિશ સ્વરૂપમાં વેગ અને પ્રવેગ શોધો.

(N/A) આપેલ છે $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ $(i)$ અને $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ (ii).
$(i)$ ને $\cos \theta$ વડે અને (ii) ને $\sin \theta$ વડે ગુણીને બાદબાકી કરતા: $\hat{r} \cos \theta - \hat{\theta} \sin \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \hat{i} = \hat{i}$.
$(i)$ ને $\sin \theta$ વડે અને (ii) ને $\cos \theta$ વડે ગુણીને સરવાળો કરતા: $\hat{r} \sin \theta + \hat{\theta} \cos \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \hat{j} = \hat{j}$.
$(b)$ $|\hat{r}| = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1$ અને $|\hat{\theta}| = \sqrt{(-\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta} = 1$. બંને એકમ સદિશ છે.
$\hat{r} \cdot \hat{\theta} = (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) = 0$. આમ,તેઓ પરસ્પર લંબ છે.
$(c)$ $\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} + \cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = \omega(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = \omega \hat{\theta}$.
તે જ રીતે,$\frac{d\hat{\theta}}{dt} = \frac{d}{dt}(-\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}) = -\cos \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{i} - \sin \theta \frac{d\theta}{dt} \hat{j} = -\omega(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\omega \hat{r}$.
$(d)$ આપેલ છે $\vec{r} = a\theta \hat{r}$. $\theta$ પરિમાણ રહિત હોવાથી,$[r] = [a]$. તેથી,$a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર લંબાઈ $[L]$ છે.
$(e)$ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(a\theta \hat{r}) = a\dot{\theta}\hat{r} + a\theta\dot{\hat{r}} = a\omega\hat{r} + a\theta\omega\hat{\theta}$.
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega\dot{\hat{r}} + a\dot{\theta}\omega\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} + a\theta\omega\dot{\hat{\theta}} = a\dot{\omega}\hat{r} + a\omega^2\hat{\theta} + a\omega^2\hat{\theta} + a\theta\dot{\omega}\hat{\theta} - a\theta\omega^2\hat{r} = (a\dot{\omega} - a\theta\omega^2)\hat{r} + (2a\omega^2 + a\theta\dot{\omega})\hat{\theta}$.