अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + x left( frac{dy}{d | vedclass

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Question

(B) माना सरल रेखा का समीकरण $y = kx + c$ है,जहाँ $k$ और $c$ स्थिरांक हैं। तब,$\frac{dy}{dx} = k$. इसे दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \left( \fr

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$2$

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(B) माना सरल रेखा का समीकरण $y = kx + c$ है,जहाँ $k$ और $c$ स्थिरांक हैं। तब,$\frac{dy}{dx} = k$. इसे दिए गए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $k + xk^2 - (kx + c) = 0$ $k + xk^2 - kx - c = 0$ $(k^2 - k)x + (k - c) = 0$ यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य हो,इसके लिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $k^2 - k = 0 \Rightarrow k(k - 1) = 0 \Rightarrow k = 0$ या $k = 1$. यदि $k = 0$ है,तो $k - c = 0 \Rightarrow c = 0$. रेखा $y = 0$ है। यदि $k = 1$ है,तो $k - c = 0 \Rightarrow c = 1$. रेखा $y = x + 1$ है। अतः,ऐसी $2$ सरल रेखाएँ हैं।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ को संतुष्ट करने वाली सरल रेखाओं की संख्या है:

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