मान लीजिए कि वक्र y = y(x) अवकल समीकरण frac{d | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 +

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$2$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$.मान लीजिए $K = 1 + C$,तो $y(x) = (x + 1)^2 + C$.यह वक्र ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है जिसका शीर्ष $(-1, C)$ है। वक्र को $x-$अक्ष के साथ क्षेत्रफल परिबद्ध करने के लिए,इसे $x-$अक्ष के नीचे होना चाहिए,इसलिए $C  0$ है।$y(x) = 0$ के मूल $(x + 1)^2 = -C$ हैं,इसलिए $x = -1 \pm \sqrt{-C}$।वक्र और $x-$अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल:$A = \int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} (0 - ((x + 1)^2 + C)) dx = -\int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} ((x + 1)^2 + C) dx$.$u = x + 1$ लेने पर,$du = dx$। सीमाएँ $-\sqrt{-C}$ से $\sqrt{-C}$ में बदल जाएंगी।$A = -\int_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} (u^2 + C) du = -[\frac{u^3}{3} + Cu]_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} = -[(\frac{(-C)^{3/2}}{3} + C\sqrt{-C}) - (\frac{-(-C)^{3/2}}{3} - C\sqrt{-C})]$.$A = -[\frac{2}{3}(-C)^{3/2} + 2C\sqrt{-C}] = -[\frac{2}{3}(-C)\sqrt{-C} - 2(-C)\sqrt{-C}] = -[-\frac{4}{3}(-C)^{3/2}] = \frac{4}{3}(-C)^{3/2}$.दिया गया है कि $A = \frac{4\sqrt{8}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$।अतः,$\frac{4}{3}(-C)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \Rightarrow (-C)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.इस प्रकार,$-C = 2$,जिसका अर्थ है $C = -2$।फलन $y(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$ है।इसलिए,$y(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$।

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