ધારો કે વક્ર y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2(x + 1)$ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:$y(x) = \int 2(x + 1) dx = (x + 1)^2 + C = x^2 + 2x + 1 + C$.ધારો કે $K = 1 + C$,તેથી $y(x) = (x + 1)^2 + C$.આ વક્ર ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(-1, C)$ છે. વક્ર $x-$અક્ષ સાથે ક્ષેત્રફળ ઘેરે તે માટે તે $x-$અક્ષની નીચે હોવો જોઈએ,તેથી $C  0$.$y(x) = 0$ ના બીજ $(x + 1)^2 = -C$ છે,તેથી $x = -1 \pm \sqrt{-C}$.વક્ર અને $x-$અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ:$A = \int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} (0 - ((x + 1)^2 + C)) dx = -\int_{-1-\sqrt{-C}}^{-1+\sqrt{-C}} ((x + 1)^2 + C) dx$.$u = x + 1$ લેતા,$du = dx$. સીમાઓ $-\sqrt{-C}$ થી $\sqrt{-C}$ માં બદલાશે.$A = -\int_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} (u^2 + C) du = -[\frac{u^3}{3} + Cu]_{-\sqrt{-C}}^{\sqrt{-C}} = -[(\frac{(-C)^{3/2}}{3} + C\sqrt{-C}) - (\frac{-(-C)^{3/2}}{3} - C\sqrt{-C})]$.$A = -[\frac{2}{3}(-C)^{3/2} + 2C\sqrt{-C}] = -[\frac{2}{3}(-C)\sqrt{-C} - 2(-C)\sqrt{-C}] = -[-\frac{4}{3}(-C)^{3/2}] = \frac{4}{3}(-C)^{3/2}$.આપેલ છે કે $A = \frac{4\sqrt{8}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.તેથી,$\frac{4}{3}(-C)^{3/2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \Rightarrow (-C)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.આમ,$-C = 2$,જેનો અર્થ છે કે $C = -2$.વિધેય $y(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$ છે.તેથી,$y(1) = (1)^2 + 2(1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$.

Similar Questions

જો કોઈ વક્રના $(x, y)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $3x^2 + 2x + 5$ હોય અને તે વક્ર $(0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો તે વક્રનું સમીકરણ શોધો.

$y' = \frac{y + 1}{x - 1}, y(1) = 2$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module