अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{x+a}{y-2} = 0 | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,जो $\frac{(y-2)^2}{2} =

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$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+a}{y-2}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (y-2) dy = -\int (x+a) dx$,जो $\frac{(y-2)^2}{2} = -\frac{(x+a)^2}{2} + k$ देता है।यह $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 2k$ में सरल हो जाता है। चूंकि क्षेत्रफल $4\pi$ है,त्रिज्या $r = 2$ है,इसलिए $2k = 4$,जिसका अर्थ है $(x+a)^2 + (y-2)^2 = 4$।$y(1) = 0$ का उपयोग करते हुए,$(1+a)^2 + (0-2)^2 = 4$,इसलिए $(1+a)^2 = 0$,जो $a = -1$ देता है।वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$ है।$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x=0$ रखें: $(0-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \implies (y-2)^2 = 3 \implies y = 2 \pm \sqrt{3}$।अतः $P = (0, 2+\sqrt{3})$ और $Q = (0, 2-\sqrt{3})$ है।वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है। $P$ तक त्रिज्या की ढाल $\frac{(2+\sqrt{3})-2}{0-1} = -\sqrt{3}$ है।$P$ पर अभिलंब की ढाल त्रिज्या की ढाल के समान होती है,जो $-\sqrt{3}$ है।$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (2+\sqrt{3}) = -\sqrt{3}(x-0) \implies y = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3}$ है।$R$ के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = -\sqrt{3}x + 2 + \sqrt{3} \implies x_R = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}$।इसी प्रकार,$Q$ के लिए,त्रिज्या की ढाल $\frac{(2-\sqrt{3})-2}{0-1} = \sqrt{3}$ है।$Q$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(x-0) \implies y = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3}$ है।$S$ के लिए $y=0$ रखने पर,$0 = \sqrt{3}x + 2 - \sqrt{3} \implies x_S = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}$।लंबाई $RS = |x_R - x_S| = |(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) - (1 - \frac{2}{\sqrt{3}})| = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$।

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