समीकरण int_{-1}^{x} (8t^2 + frac{28}{3}t + 4) | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,$LHS$ पर समाकलन का मूल्यांकन करें: $\int_{-1}^{x} (8t^2 + \frac{28}{3}t + 4) dt = [\frac{8}{3}t^3 + \frac{14}{3}t^2 + 4t]_{-1}^{x} = (\f

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$1$

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(B) सबसे पहले,$LHS$ पर समाकलन का मूल्यांकन करें: $\int_{-1}^{x} (8t^2 + \frac{28}{3}t + 4) dt = [\frac{8}{3}t^3 + \frac{14}{3}t^2 + 4t]_{-1}^{x} = (\frac{8}{3}x^3 + \frac{14}{3}x^2 + 4x) - (-\frac{8}{3} + \frac{14}{3} - 4) = \frac{8}{3}x^3 + \frac{14}{3}x^2 + 4x + 2$. $RHS$ के लिए,ध्यान दें कि $\log_{(x+1)} \sqrt{x+1} = \log_{(x+1)} (x+1)^{1/2} = \frac{1}{2}$. अतः,समीकरण $\frac{8}{3}x^3 + \frac{14}{3}x^2 + 4x + 2 = \frac{\frac{3}{2}x + 1}{1/2} = 3x + 2$ बन जाता है। दोनों पक्षों से $3x + 2$ घटाने पर: $\frac{8}{3}x^3 + \frac{14}{3}x^2 + x = 0$. $3$ से गुणा करने पर: $8x^3 + 14x^2 + 3x = 0$. गुणनखंड करने पर: $x(8x^2 + 14x + 3) = 0$,जो $x(4x + 1)(2x + 3) = 0$ देता है। मूल $x = 0$,$x = -1/4$,और $x = -3/2$ हैं। हालाँकि,लघुगणक का आधार $x+1$ के लिए $x+1 > 0$ और $x+1 
eq 1$ होना चाहिए,इसलिए $x > -1$ और $x 
eq 0$. मूलों की जाँच करने पर: $x=0$ आधार की शर्त के कारण बाहर है। $x=-3/2$ भी बाहर है क्योंकि $-3/2 केवल $x = -1/4$ ही $x > -1$ और $x 
eq 0$ की शर्त को संतुष्ट करता है। अतः,$x$ का केवल $1$ मान संभव है।

समीकरण $\int_{-1}^{x} (8t^2 + \frac{28}{3}t + 4) dt = \frac{(\frac{3}{2})x + 1}{\log_{(x+1)} \sqrt{x+1}}$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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