$8$ સમાન પુસ્તકોને $4$ સમાન છાજલીઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા,જ્યાં કોઈપણ સંખ્યામાં છાજલીઓ ખાલી રહી શકે છે,તે કેટલી છે?

$INDEPENDENT$ શબ્દના અક્ષરોમાંથી $5$ અક્ષરો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

બે ચોક્કસ સ્ટેશનો વચ્ચે રેલ્વે લાઇન પર $10$ મધ્યવર્તી સ્ટેશનો છે. ટ્રેન આ $3$ મધ્યવર્તી સ્ટેશનો પર એવી રીતે ઉભી રહે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ટેશન ક્રમિક ન હોય,તો તે કેટલી રીતે કરી શકાય?

એક દુકાનમાં $5$ પ્રકારની આઈસ્ક્રીમ ઉપલબ્ધ છે. એક બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદે છે.
$\text{વિધાન}-1$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવા વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા $^{10}C_5$ છે.
$\text{વિધાન}-2$: બાળક $6$ આઈસ્ક્રીમ ખરીદી શકે તેવા વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા એ હરોળમાં $6$ $A$ અને $4$ $B$ ને ગોઠવવાના વિવિધ રસ્તાઓની સંખ્યા જેટલી છે.

એક ઉમેદવારે $12$ પ્રશ્નોમાંથી $6$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે, જે બે ભાગ $A$ અને $B$ માં વહેંચાયેલા છે, દરેક ભાગમાં $6$ પ્રશ્નો છે. ઉમેદવારને કોઈપણ ભાગમાંથી $4$ થી વધુ પ્રશ્નોના પ્રયાસ કરવાની મંજૂરી નથી. તે કેટલા અલગ અલગ રીતે $6$ પ્રશ્નોની પસંદગી કરી શકે છે?

જો $^{20}C_{n+2} = ^nC_{16}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.