निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:I. यदि dy+2xy | vedclass

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Question

(A) $I$. दिया गया है $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$.$dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+2xy=2e^{-x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का

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$I$ और $II$ दोनों सही हैं

Vedclass · Answer

(A) $I$. दिया गया है $dy+2xy dx=2e^{-x^2} dx$.$dx$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx}+2xy=2e^{-x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=2x$ और $Q=2e^{-x^2}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$ है।व्यापक हल $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + c$ है।$ye^{x^2} = \int 2e^{-x^2} \cdot e^{x^2} dx + c = \int 2 dx + c = 2x+c$.अतः,कथन $I$ सही है।$II$. दिया गया है $ye^{x^2}-2x=c$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx}(ye^{x^2}) - \frac{d}{dx}(2x) = 0$.$y(2x e^{x^2}) + e^{x^2} \frac{dy}{dx} - 2 = 0$.$e^{x^2} \frac{dy}{dx} = 2 - 2xye^{x^2}$.$\frac{dy}{dx} = 2e^{-x^2} - 2xy$.इसलिए,$dx = \frac{dy}{2e^{-x^2}-2xy}$.अतः,कथन $II$ भी सही है।

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