गॉस के नियम से कूलम्ब का नियम प्राप्त कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ पर एक बिंदु आवेश $+q$ रखा गया है।
$O$ को केंद्र मानकर $r$ त्रिज्या का एक गोलीय गॉसियन पृष्ठ $S$ की कल्पना करें जो आवेश $q$ को परिबद्ध करता है।
पृष्ठ पर एक बिंदु $P$ पर एक सूक्ष्म क्षेत्रफल अवयव $d\vec{S}$ पर विचार करें। गोलीय सममिति के कारण,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित है और क्षेत्रफल सदिश $d\vec{S}$ के समानांतर है। अतः,उनके बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ है:
$\phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
चूंकि गोलीय पृष्ठ पर $\vec{E}$ एकसमान है और $\vec{E} \parallel d\vec{S}$,इसलिए:
$\oint E \, dS \cos 0^{\circ} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$E \oint dS = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $\oint dS = 4\pi r^{2}$ होता है,इसलिए:
$E(4\pi r^{2}) = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
यदि बिंदु $P$ पर एक परीक्षण आवेश $q_{0}$ रखा जाए,तो उस पर लगने वाला बल $F = q_{0}E$ होगा। $E$ का मान रखने पर:
$F = q_{0} \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{q q_{0}}{r^{2}}$
यह व्यंजक कूलम्ब का नियम है।