નીચેના કિસ્સાઓ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો:
$(i)$ અનંત લંબાઈ ધરાવતી અને સમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ ધરાવતી સમતલ શીટ.
$(ii)$ સમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ ધરાવતી પાતળી ગોળીય કવચની બહારના બિંદુએ.
$(iii)$ સમાન વિદ્યુતભાર વિતરણ ધરાવતી પાતળી ગોળીય કવચની અંદરના બિંદુએ.

(N/A) $(i)$ ધારો કે અનંત સમતલ શીટની સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
સમતલને લંબ $x$-અક્ષ લો. સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$ અને $z$ યામ પર આધાર રાખશે નહીં અને દરેક બિંદુએ તેની દિશા $x$-દિશાને સમાંતર હશે.
આપણે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતું લંબચોરસ સમાંતરફલક ગૌસિયન સપાટી તરીકે લઈ શકીએ.
માત્ર બે સપાટીઓ $1$ અને $2$ ફ્લક્સમાં ફાળો આપશે; વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અન્ય સપાટીઓને સમાંતર છે અને તે કુલ ફ્લક્સમાં ફાળો આપતી નથી.
સપાટી $1$ ને લંબ એકમ સદિશ $-x$-દિશામાં છે,જ્યારે સપાટી $2$ ને લંબ એકમ સદિશ $+x$-દિશામાં છે.
તેથી,બંને સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\vec{E} \cdot \overrightarrow{\Delta S}$ સમાન છે અને તેનો સરવાળો થાય છે.
તેથી ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $2EA$ છે.
બંધ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $\sigma A$ છે.
તેથી,ગૌસના નિયમ મુજબ,
$2 EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \hat{n} \quad \dots(1)$
જ્યાં $\hat{n}$ એ સમતલને લંબ અને તેમાંથી દૂર જતો એકમ સદિશ છે.
જો $\sigma$ ધન હોય તો $E$ પ્લેટથી દૂર જાય છે અને જો $\sigma$ ઋણ હોય તો પ્લેટ તરફ હોય છે.
$(ii)$ ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાની પાતળી ગોળીય કવચની સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
કવચની બહાર ત્રિજ્યા સદિશ $\vec{r}$ ધરાવતું બિંદુ $P$ ધ્યાનમાં લો.
$P$ પર $\vec{E}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે $P$ માંથી પસાર થતી અને $O$ કેન્દ્ર ધરાવતી $r$ ત્રિજ્યાની ગોળીય ગૌસિયન સપાટી લઈએ છીએ.
ગૌસિયન સપાટીના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E$ સમાન છે અને તે દરેક બિંદુએ ત્રિજ્યા સદિશની દિશામાં છે.
આમ,દરેક બિંદુએ $\vec{E}$ અને $\overrightarrow{\Delta S}$ સમાંતર છે અને દરેક ખંડમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E \Delta S$ છે.
બધા $\Delta S$ પર સરવાળો કરતા,ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $E \times 4 \pi r^{2}$ મળે છે.
ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q = \sigma \times 4 \pi R^{2}$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,
$E \times 4 \pi r^{2} = \frac{q}{\epsilon_{0}}$
$\therefore E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} = \frac{k q}{r^{2}}$
$\therefore \vec{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r} = \frac{k q}{r^{2}} \hat{r}$
$(iii)$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,$R$ ત્રિજ્યાની ગોળીય કવચ પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે.
બિંદુ $P$ કવચની અંદર છે. ગૌસિયન સપાટી $O$ કેન્દ્રિત અને $r$ ત્રિજ્યાની ગોળીય સપાટી છે જે $P$ માંથી પસાર થાય છે.
ગૌસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ,અગાઉ ગણતરી કર્યા મુજબ $E \times 4 \pi r^{2}$ છે. આ કિસ્સામાં,ગૌસિયન સપાટી કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરતી નથી $(q = 0)$.
ગૌસનો નિયમ આપણને આપે છે,
$E \times 4 \pi r^{2} = 0$
$\therefore E = 0 \quad (r < R)$
આમ,સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત પાતળી કવચને કારણે કવચની અંદરના તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.