ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કર્યા વિના,સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતા લાંબા પાતળા તારને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો.

(N/A) સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ધરાવતો એક લાંબો પાતળો તાર $XY$ ધ્યાનમાં લો.
તારના મધ્યબિંદુ $O$ થી $l$ જેટલા લંબ અંતરે આવેલું બિંદુ $A$ ધ્યાનમાં લો.
તાર $XY$ ને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ છે.
તાર પર $O$ થી $x$ અંતરે એક નાનો ખંડ $dx$ ધ્યાનમાં લો (એટલે કે $OZ = x$).
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda dx$ છે.
આ ખંડને કારણે બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{(AZ)^{2}}$
અહીં $AZ = \sqrt{l^{2} + x^{2}}$ હોવાથી:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{l^{2} + x^{2}}$
વિદ્યુતક્ષેત્રને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. $dE \cos \theta$ એ લંબ ઘટક છે અને $dE \sin \theta$ એ સમાંતર ઘટક છે. જ્યારે આખા તારને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે,ત્યારે સમાંતર ઘટકો $dE \sin \theta$ સંમિતિને કારણે એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. માત્ર લંબ ઘટક $dE \cos \theta$ જ બિંદુ $A$ પરના કુલ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ફાળો આપે છે.
તેથી,અસરકારક વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE_{1}$:
$dE_{1} = dE \cos \theta = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx \cos \theta}{l^{2} + x^{2}} \dots (1)$
$\Delta AZO$ માં,$\tan \theta = \frac{x}{l} \Rightarrow x = l \tan \theta$. વિકલન કરતા,$dx = l \sec^{2} \theta d\theta \dots (2)$
વળી,$l^{2} + x^{2} = l^{2} + l^{2} \tan^{2} \theta = l^{2} \sec^{2} \theta \dots (3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$dE_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda (l \sec^{2} \theta d\theta) \cos \theta}{l^{2} \sec^{2} \theta} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta$
અનંત લંબાઈના તાર માટે,$\theta$ ની સીમા $-\frac{\pi}{2}$ થી $\frac{\pi}{2}$ છે. સંકલન કરતા:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [1 - (-1)] = \frac{2\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} l}$