अतिपरवलय frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 के ए | vedclass

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Question

(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(ae, b^2/a)$ और $(ae, -b^2/a)$ हैं।मान लीजि

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$4$

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(A) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(ae, b^2/a)$ और $(ae, -b^2/a)$ हैं।मान लीजिए कि केंद्र $(0,0)$ पर नाभिलंब द्वारा बनाया गया कोण $2	heta$ है। तब $	an 	heta = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$ है।दिया गया है कि $2	heta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{2}ight)$,इसलिए $	an 	heta = \frac{3}{2}$ है।अतः,$\frac{b^2}{a^2e} = \frac{3}{2}$ है।चूंकि $b^2 = 36$ दिया गया है,हमारे पास $\frac{36}{a^2e} = \frac{3}{2}$ है,जिसका अर्थ है $a^2e = 24$ है।हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,इसलिए $36 = a^2e^2 - a^2$ है। चूंकि $a^2e = 24$ है,$a^2 = \frac{24}{e}$ है।$a^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$36 = (\frac{24}{e})e^2 - \frac{24}{e} \implies 36 = 24e - \frac{24}{e}$ प्राप्त होता है।$12$ से विभाजित करने पर,$3 = 2e - \frac{2}{e} \implies 2e^2 - 3e - 2 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(2e+1)(e-2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $e > 1$ है,इसलिए $e = 2$ है।तब $a^2 = \frac{24}{2} = 12$ है।अंत में,$\sqrt{a^2 + e^2} = \sqrt{12 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ है।

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