બર્નુલીના સિદ્ધાંતને સાબિત કરો.

(N/A) ધારો કે એક અદબનીય,શ્યાનતા રહિત પ્રવાહી બદલાતા આડછેદ અને ઊંચાઈ ધરાવતી પાઈપમાંથી વહે છે.
ઇનલેટ પર (બિંદુ $B$):
- આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= A_1$
- પ્રવાહીની ઝડપ $= v_1$
- દબાણ $= P_1$
આઉટલેટ પર (બિંદુ $D$):
- આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= A_2$
- પ્રવાહીની ઝડપ $= v_2$
- દબાણ $= P_2$
નાના સમયગાળા $\Delta t$ માં,ઇનલેટ પરનું પ્રવાહી $v_1 \Delta t$ જેટલું અંતર કાપે છે. દાખલ થતા પ્રવાહીનું કદ $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t$ છે. ઇનલેટ પર દબાણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_1 = F_1 \times (v_1 \Delta t) = P_1 A_1 v_1 \Delta t = P_1 \Delta V$ છે.
તે જ રીતે,આઉટલેટ પર,દબાણની વિરુદ્ધ પ્રવાહી દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_2 = P_2 A_2 v_2 \Delta t = P_2 \Delta V$ છે. દબાણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W = W_1 - W_2 = (P_1 - P_2) \Delta V$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,આ કુલ કાર્ય એ પ્રવાહીના દળ $\Delta m = \rho \Delta V$ માં થતા ગતિ ઊર્જાના ફેરફાર અને સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K + \Delta U$
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \Delta m (v_2^2 - v_1^2) + \Delta m g (h_2 - h_1)$
$\Delta V$ વડે ભાગતા અને $\Delta m / \Delta V = \rho$ મૂકતા:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) + \rho g (h_2 - h_1)$
પુનઃ ગોઠવતા બર્નુલીનું સમીકરણ મળે છે:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
આમ,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{અચળ}$.