સાબિત કરો કે કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક $6m+1$ અથવા $6m+3$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $m \in N \cup \{0\}$.

(N/A) ધારો કે $a$ એ કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને $b=6$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \le r < 6$.
અહીં $r$ ની કિંમત $0, 1, 2, 3, 4, 5$ હોઈ શકે છે,તેથી $a$ ના શક્ય સ્વરૂપો $6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4$ અને $6q+5$ છે.
જો $a = 6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ હોય,તો $a$ બેકી સંખ્યા છે કારણ કે તે $2$ વડે વિભાજ્ય છે (દા.ત.,$6q = 2(3q)$).
આપેલ છે કે $a$ એકી પૂર્ણાંક છે,તેથી તે $6q, 6q+2$ અથવા $6q+4$ સ્વરૂપમાં ન હોઈ શકે.
તેથી,કોઈપણ ધન એકી પૂર્ણાંક $6q+1, 6q+3$ અથવા $6q+5$ સ્વરૂપમાં જ હોય. $q$ ને $m$ વડે બદલતા,આપણે $6m+1, 6m+3$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપ મેળવીએ છીએ.