સાબિત કરો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.
ધારો કે $\sqrt{3}+\sqrt{5} = a$,જ્યાં $a$ એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$\sqrt{3} = a - \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{5})^2$
$3 = a^2 + 5 - 2a\sqrt{5}$ (નિત્યસમ $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા).
$\sqrt{5}$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$2a\sqrt{5} = a^2 + 5 - 3$
$2a\sqrt{5} = a^2 + 2$
$\sqrt{5} = \frac{a^2 + 2}{2a}$.
અહીં $a$ સંમેય સંખ્યા હોવાથી,$\frac{a^2 + 2}{2a}$ પણ એક સંમેય સંખ્યા થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sqrt{5}$ એક સંમેય સંખ્યા છે,જે હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે $\sqrt{5}$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે અને $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ એ એક અસંમેય સંખ્યા છે.