सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
मान लीजिए $\sqrt{3}+\sqrt{5} = a$,जहाँ $a$ एक परिमेय संख्या है।
तब,$\sqrt{3} = a - \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sqrt{3})^2 = (a - \sqrt{5})^2$
$3 = a^2 + 5 - 2a\sqrt{5}$ (सर्वसमिका $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ का उपयोग करते हुए)।
$\sqrt{5}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2a\sqrt{5} = a^2 + 5 - 3$
$2a\sqrt{5} = a^2 + 2$
$\sqrt{5} = \frac{a^2 + 2}{2a}$.
चूँकि $a$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $\frac{a^2 + 2}{2a}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है,जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः,हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है और $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।