ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે
$P(n): 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2n - 1)(2n + 1) = \frac{n(4n^2 + 6n - 1)}{3}$
$n = 1$ માટે,
$P(1): 1 \cdot 3 = 3 = \frac{1(4(1)^2 + 6(1) - 1)}{3} = \frac{4 + 6 - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3$,જે સત્ય છે.
ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે
$1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \ldots + (2k - 1)(2k + 1) = \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3}$ $(i)$
હવે આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k + 1)$ સત્ય છે.
$(k + 1)$ પદો સુધીનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \ldots + (2k - 1)(2k + 1)) + (2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)$
$= \frac{k(4k^2 + 6k - 1)}{3} + (2k + 1)(2k + 3)$ [$(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{4k^3 + 6k^2 - k + 3(4k^2 + 8k + 3)}{3}$
$= \frac{4k^3 + 18k^2 + 23k + 9}{3}$
$= \frac{(k + 1)(4(k + 1)^2 + 6(k + 1) - 1)}{3}$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k + 1)$ પણ સત્ય છે.
તેથી,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,વિધાન $P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.