જ્યારે P એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,ત્યારે {P^{n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $n = 1$ માટે,આપણને મળે છે,${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$. આ પદ ${P^2} + P + 1$ વડે વિભાજ્ય છે. ધારો કે

Vedclass · Accepted Answer

${P^2} + P + 1$

Vedclass · Answer

(C) $n = 1$ માટે,આપણને મળે છે,${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$. આ પદ ${P^2} + P + 1$ વડે વિભાજ્ય છે. ધારો કે આપેલ પરિણામ $n = m \in N$ માટે સાચું છે,એટલે કે,${P^{m + 1}} + {(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1)$ કોઈ $k \in N$ માટે .....$(i)$ હવે,$n = m + 1$ માટે: ${P^{(m + 1) + 1}} + {(P + 1)^{2(m + 1) - 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^{2m + 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}{(P + 1)^{2m - 1}}$. સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરીને,${(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}$ મૂકતા: $= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}[k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}] = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) - {(P + 1)^2}{P^{m + 1}} = {P^{m + 1}}[P - {(P + 1)^2}] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = {P^{m + 1}}[P - ({P^2} + 2P + 1)] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = {P^{m + 1}}[-{P^2} - P - 1] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = -{P^{m + 1}}({P^2} + P + 1) + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) = ({P^2} + P + 1)[k{(P + 1)^2} - {P^{m + 1}}]$. આ ${P^2} + P + 1$ નો ગુણક હોવાથી,પરિણામ $n = m + 1$ માટે સાચું છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,પરિણામ તમામ $n \in N$ માટે સાચું છે.

જ્યારે $P$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિત કરો:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$

નીચેના ચાર વિધાનોમાંથી,કયું વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સાચું નથી?

ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે:
$2n < (n+2)!$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module