गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$

माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): \left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2n+1}{n^{2}}\right)=(n+1)^{2}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): \left(1+\frac{3}{1}\right) = 4 = (1+1)^{2} = 2^{2} = 4$,जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \dots \left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)=(k+1)^{2}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक का गुणनफल लीजिए:
$\left[\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right) \dots \left(1+\frac{2k+1}{k^{2}}\right)\right] \left\{1+\frac{2(k+1)+1}{(k+1)^{2}}\right\}$
$= (k+1)^{2} \left(1+\frac{2k+3}{(k+1)^{2}}\right)$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= (k+1)^{2} \left[\frac{(k+1)^{2} + 2k + 3}{(k+1)^{2}}\right]$
$= (k+1)^{2} + 2k + 3$
$= k^{2} + 2k + 1 + 2k + 3 = k^{2} + 4k + 4$
$= (k+2)^{2} = \{(k+1)+1\}^{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।