સાબિત કરો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,તેની બધી બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો તેના વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,ચાર બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો બે વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા બરાબર હોય છે.
ધારો કે બાજુઓ $AB$,$BC$,$CD$ અને $DA$ છે. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $BC = DA$ થાય.
$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં એપોલોનિયસના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં $BO$ મધ્યગા છે ($O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે):
$AB^2 + BC^2 = 2(BO^2 + AO^2)$
$AD^2 + CD^2 = 2(DO^2 + AO^2)$
$O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BO = DO$ થાય.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(BO^2 + AO^2 + DO^2 + AO^2) = 2(2BO^2 + 2AO^2) = 4BO^2 + 4AO^2$.
$BD = 2BO$ અને $AC = 2AO$ હોવાથી,$BD^2 = 4BO^2$ અને $AC^2 = 4AO^2$ થાય.
તેથી,$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$.