સાબિત કરો કે વિધેય $f(x)=x^{2}-x+1$ એ અંતરાલ $(-1,1)$ પર ચુસ્ત વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.

આપેલ વિધેય $f(x)=x^{2}-x+1$ છે.
$\therefore f^{\prime}(x)=2x-1$.
હવે,$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$.
બિંદુ $x=\frac{1}{2}$ એ અંતરાલ $(-1,1)$ ને બે અલગ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $(-1, \frac{1}{2})$ અને $(\frac{1}{2}, 1)$.
અંતરાલ $(-1, \frac{1}{2})$ માં,એક પરીક્ષણ બિંદુ $x=0$ લો. તો $f^{\prime}(0)=2(0)-1=-1 < 0$.
તેથી,$f$ એ અંતરાલ $(-1, \frac{1}{2})$ માં ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
અંતરાલ $(\frac{1}{2}, 1)$ માં,એક પરીક્ષણ બિંદુ $x=\frac{3}{4}$ લો. તો $f^{\prime}(\frac{3}{4})=2(\frac{3}{4})-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} > 0$.
તેથી,$f$ એ અંતરાલ $(\frac{1}{2}, 1)$ માં ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આમ,વિધેય $(-1, \frac{1}{2})$ પર ચુસ્ત ઘટતું અને $(\frac{1}{2}, 1)$ પર ચુસ્ત વધતું હોવાથી,તે સમગ્ર અંતરાલ $(-1, 1)$ પર ચુસ્ત વધતું કે ઘટતું વિધેય નથી.