સાબિત કરો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ લંબચોરસ છે.

(N/A) આપેલ છે: એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં ખૂણા $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ ના દ્વિભાજકો બિંદુઓ $P, Q, R, S$ પર છેદે છે અને ચતુષ્કોણ $PQRS$ બનાવે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.
સાબિતી: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DC$ થાય.
$AB \parallel DC$ અને છેદિકા $AD$ તેમને અનુક્રમે $A$ અને $D$ માં છેદે છે,તેથી ક્રમિક અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle A + \angle D = 180^{\circ}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90^{\circ}$ મળે.
$AS$ અને $DS$ એ અનુક્રમે $\angle A$ અને $\angle D$ ના દ્વિભાજકો હોવાથી,$\angle DAS + \angle ADS = 90^{\circ} \quad \dots(1)$.
$\triangle DAS$ માં,ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle DAS + \angle ADS + \angle ASD = 180^{\circ}$.
આમાં $(1)$ ની કિંમત મૂકતા,$90^{\circ} + \angle ASD = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ASD = 90^{\circ}$.
$\angle PSR$ અને $\angle ASD$ અભિકોણો હોવાથી,$\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle SRQ = 90^{\circ}$,$\angle RQP = 90^{\circ}$ અને $\angle SPQ = 90^{\circ}$.
ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોવાથી,$PQRS$ એક લંબચોરસ છે.