સાબિત કરો કે આપેલા શંકુમાં અંતર્ગત મહત્તમ વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય નળાકારની ત્રિજ્યા,શંકુની ત્રિજ્યા કરતાં અડધી હોય છે.

(N/A) ધારો કે $OC = r$ એ શંકુની ત્રિજ્યા છે અને $OA = h$ એ તેની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $OE = x$ ત્રિજ્યા ધરાવતો નળાકાર આપેલા શંકુમાં અંતર્ગત છે. નળાકારની ઊંચાઈ $QE$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{QE}{OA} = \frac{EC}{OC}$ (કારણ કે $\Delta QEC \sim \Delta AOC$)
$\frac{QE}{h} = \frac{r - x}{r}$
$QE = \frac{h(r - x)}{r}$
ધારો કે $S$ એ નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે. તો:
$S(x) = 2 \pi x \cdot QE = 2 \pi x \cdot \frac{h(r - x)}{r} = \frac{2 \pi h}{r}(rx - x^2)$
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $S'(x)$ શોધીએ:
$S'(x) = \frac{2 \pi h}{r}(r - 2x)$
$S'(x) = 0$ લેતા,$r - 2x = 0$ મળે છે,તેથી $x = \frac{r}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $S''(x)$ શોધો:
$S''(x) = \frac{2 \pi h}{r}(-2) = -\frac{4 \pi h}{r}$
કારણ કે તમામ $x$ માટે $S''(x) < 0$ છે,તેથી વિધેય $S(x)$ ને $x = \frac{r}{2}$ પર મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
આમ,મહત્તમ વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા નળાકારની ત્રિજ્યા એ શંકુની ત્રિજ્યા કરતાં અડધી છે.