ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$

(N/A) ધારો કે $P(n): 1+2+2^2+\ldots+2^n = 2^{n+1}-1$ તમામ $n \in N$ માટે.
પગલું $I$: $n=1$ માટે,
$LHS$ $= 1+2^1 = 3$.
$RHS$ $= 2^{1+1}-1 = 2^2-1 = 4-1 = 3$.
$LHS$ $= RHS$ હોવાથી,વિધાન $n=1$ માટે સત્ય છે.
પગલું $II$: ધારો કે $P(k)$ કોઈ $k \in N$ માટે સત્ય છે,એટલે કે $1+2+2^2+\ldots+2^k = 2^{k+1}-1$.
પગલું $III$: $n=k+1$ માટે,આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $1+2+2^2+\ldots+2^k+2^{k+1} = 2^{k+2}-1$.
$LHS$ $= (1+2+2^2+\ldots+2^k) + 2^{k+1}$.
પગલું $II$ ની ધારણાનો ઉપયોગ કરતા,$LHS$ $= (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$.
$= 2 \times 2^{k+1} - 1 = 2^{k+2}-1$.
$LHS$ $= RHS$ હોવાથી,વિધાન $n=k+1$ માટે પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,આ વિધાન તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.