ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે જ્યાં $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$.
પગલું $1$: $n=2$ માટે,ડાબી બાજુ $(LHS)$ = $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) = 1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
જમણી બાજુ $(RHS)$ = $\frac{2+1}{2(2)} = \frac{3}{4}$.
$LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$P(2)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે $k \geq 2$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{k^{2}}\right) = \frac{k+1}{2k}$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right) = \frac{k+2}{2(k+1)}$.
પગલું $2$ ની ધારણાનો ઉપયોગ કરતા:
$LHS$ = $\left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right) = \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{(k+1)^{2}-1}{(k+1)^{2}}\right)$.
$= \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{k^{2}+2k}{(k+1)^{2}}\right) = \left(\frac{k+1}{2k}\right) \left(\frac{k(k+2)}{(k+1)^{2}}\right)$.
$= \frac{k+2}{2(k+1)}$.
આમ,$P(k+1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ તમામ $n \geq 2$ માટે સત્ય છે.