સાબિત કરો કે $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલના તળિયે ગબડતી વસ્તુ (જેમ કે રીંગ,ડિસ્ક,નળાકાર અથવા ગોળો) ના સ્થાનાંતરનો વેગ $v$ એ $v^{2} = \frac{2gh}{1 + k^{2}/R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,ગતિશીલ વિચારણાઓ (એટલે કે બળો અને ટોર્કને ધ્યાનમાં લઈને) નો ઉપયોગ કરીને. નોંધ: $k$ એ તેની સમપ્રમાણતા અક્ષની આસપાસ વસ્તુની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે,અને $R$ એ વસ્તુની ત્રિજ્યા છે. વસ્તુ સમતલની ટોચ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે.

(N/A) $m$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $k$ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતી વસ્તુ $\theta$ ખૂણા અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર ગબડે છે.
$1$. વસ્તુ પર લાગતા બળો:
- વજનનો ઘટક $mg \sin \theta$ જે સમતલની નીચેની તરફ લાગે છે.
- ઘર્ષણ બળ $f$ જે સમતલની ઉપરની તરફ લાગે છે.
- લંબબળ $N$ જે સમતલને લંબ લાગે છે.
$2$. ગતિના સમીકરણો:
- સ્થાનાંતર ગતિ માટે: $mg \sin \theta - f = ma$ (જ્યાં $a$ એ રેખીય પ્રવેગ છે).
- દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ ગતિ માટે: $\tau = I\alpha = fR$,જ્યાં $I = mk^{2}$ અને $\alpha = a/R$.
- તેથી,$fR = (mk^{2})(a/R) \implies f = mk^{2}a/R^{2}$.
$3$. પ્રવેગ $a$ માટે ઉકેલ:
- $f$ ની કિંમત સ્થાનાંતર સમીકરણમાં મૂકતા: $mg \sin \theta - mk^{2}a/R^{2} = ma$.
- $mg \sin \theta = ma(1 + k^{2}/R^{2}) \implies a = \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}}$.
$4$. વેગ $v$ શોધતા:
- $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = h/\sin \theta$:
- $v^{2} = 2 \left( \frac{g \sin \theta}{1 + k^{2}/R^{2}} \right) \left( \frac{h}{\sin \theta} \right)$.
- $v^{2} = \frac{2gh}{1 + k^{2}/R^{2}}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.