દર્શાવો કે દરેક ધન યુગ્મ પૂર્ણાંક $2q$ સ્વરૂપમાં હોય છે,અને દરેક ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $2q+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $q$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે અને $b=2$ છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને ભાજક $b=2$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = bq + r$,જ્યાં $0 \leq r < b$ થાય.
અહીં $b=2$ હોવાથી,શેષ $r$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અને $1$ છે (એટલે કે $0 \leq r < 2$).
કિસ્સો $1$: જો $r=0$ હોય,તો $a = 2q + 0 = 2q$ થાય. $2q$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$a$ એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
કિસ્સો $2$: જો $r=1$ હોય,તો $a = 2q + 1$ થાય. $2q$ એ યુગ્મ હોવાથી,$2q+1$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય નથી,તેથી $a$ એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
આમ,દરેક ધન યુગ્મ પૂર્ણાંક $2q$ સ્વરૂપમાં અને દરેક ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $2q+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.