सिद्ध कीजिए कि किन्हीं भी समुच्चयों $A$ और $B$ के लिए,$A = (A \cap B) \cup (A - B)$ और $A \cup (B - A) = (A \cup B).$
(N/A) सिद्ध करने के लिए: $A = (A \cap B) \cup (A - B)$
माना $x \in A.$
हम जानते हैं कि $x$ या तो $B$ में होगा या $B$ में नहीं होगा।
स्थिति $I$: यदि $x \in B$ है,तो $x \in A \cap B$,अतः $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
स्थिति $II$: यदि $x \notin B$ है,तो $x \in A - B$,अतः $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
अतः,$A \subseteq (A \cap B) \cup (A - B).$ ..........$(1)$
चूंकि $(A \cap B) \subseteq A$ और $(A - B) \subseteq A$,इसलिए उनका संघ भी $A$ का उपसमुच्चय होगा।
अतः,$(A \cap B) \cup (A - B) \subseteq A.$ ..........$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$A = (A \cap B) \cup (A - B).$
सिद्ध करने के लिए: $A \cup (B - A) = A \cup B$
माना $x \in A \cup (B - A).$
इसका अर्थ है $x \in A$ या $(x \in B$ और $x \notin A).$
वितरण नियम के अनुसार,यह $(x \in A$ या $x \in B)$ और $(x \in A$ या $x \notin A)$ है।
चूंकि $(x \in A$ या $x \notin A)$ हमेशा सत्य है,इसलिए हमें $x \in A \cup B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A \cup (B - A) \subseteq A \cup B.$ ..........$(3)$
इसके विपरीत,माना $y \in A \cup B.$
इसका अर्थ है $y \in A$ या $y \in B.$
यदि $y \in A$ है,तो $y \in A \cup (B - A).$
यदि $y \notin A$ और $y \in B$ है,तो $y \in B - A$,इसलिए $y \in A \cup (B - A).$
अतः,$A \cup B \subseteq A \cup (B - A).$ ..........$(4)$
$(3)$ और $(4)$ से,$A \cup (B - A) = A \cup B.$
माना $x \in A.$
हम जानते हैं कि $x$ या तो $B$ में होगा या $B$ में नहीं होगा।
स्थिति $I$: यदि $x \in B$ है,तो $x \in A \cap B$,अतः $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
स्थिति $II$: यदि $x \notin B$ है,तो $x \in A - B$,अतः $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
अतः,$A \subseteq (A \cap B) \cup (A - B).$ ..........$(1)$
चूंकि $(A \cap B) \subseteq A$ और $(A - B) \subseteq A$,इसलिए उनका संघ भी $A$ का उपसमुच्चय होगा।
अतः,$(A \cap B) \cup (A - B) \subseteq A.$ ..........$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$A = (A \cap B) \cup (A - B).$
सिद्ध करने के लिए: $A \cup (B - A) = A \cup B$
माना $x \in A \cup (B - A).$
इसका अर्थ है $x \in A$ या $(x \in B$ और $x \notin A).$
वितरण नियम के अनुसार,यह $(x \in A$ या $x \in B)$ और $(x \in A$ या $x \notin A)$ है।
चूंकि $(x \in A$ या $x \notin A)$ हमेशा सत्य है,इसलिए हमें $x \in A \cup B$ प्राप्त होता है।
अतः,$A \cup (B - A) \subseteq A \cup B.$ ..........$(3)$
इसके विपरीत,माना $y \in A \cup B.$
इसका अर्थ है $y \in A$ या $y \in B.$
यदि $y \in A$ है,तो $y \in A \cup (B - A).$
यदि $y \notin A$ और $y \in B$ है,तो $y \in B - A$,इसलिए $y \in A \cup (B - A).$
अतः,$A \cup B \subseteq A \cup (B - A).$ ..........$(4)$
$(3)$ और $(4)$ से,$A \cup (B - A) = A \cup B.$
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