दर्शाइए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में दो मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर है।

(N/A) चूंकि $2n$ एक सम संख्या है,इसलिए $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में केवल एक मध्य पद है,जो $(\frac{2n}{2}+1)^{\text{th}}$ पद यानी $(n+1)^{\text{th}}$ पद है।
$(n+1)^{\text{th}}$ पद $^{2n}C_{n}x^{n}$ है। अतः $x^{n}$ का गुणांक $^{2n}C_{n}$ है।
इसी प्रकार,चूंकि $(2n-1)$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में दो मध्य पद हैं,जो $(\frac{2n-1+1}{2})^{\text{th}}$ और $(\frac{2n-1+1}{2}+1)^{\text{th}}$ पद यानी $n^{\text{th}}$ और $(n+1)^{\text{th}}$ पद हैं।
इन पदों के गुणांक क्रमशः $^{2n-1}C_{n-1}$ और $^{2n-1}C_{n}$ हैं।
सर्वसमिका $^{n}C_{r-1} + ^{n}C_{r} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$^{2n-1}C_{n-1} + ^{2n-1}C_{n} = ^{2n}C_{n}$.
यह सिद्ध करता है कि $(1+x)^{2n}$ के मध्य पद का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ के दो मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर है।