$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદનો સહગુણક એ $(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં બે મધ્યમ પદોના સહગુણકોના સરવાળા જેટલો છે તેમ દર્શાવો.

(N/A) અહીં $2n$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં માત્ર એક જ મધ્યમ પદ છે,જે $(\frac{2n}{2}+1)^{\text{th}}$ પદ એટલે કે $(n+1)^{\text{th}}$ પદ છે.
$(n+1)^{\text{th}}$ પદ $^{2n}C_{n}x^{n}$ છે. તેથી $x^{n}$ નો સહગુણક $^{2n}C_{n}$ છે.
તે જ રીતે,$(2n-1)$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં બે મધ્યમ પદો છે,જે $(\frac{2n-1+1}{2})^{\text{th}}$ અને $(\frac{2n-1+1}{2}+1)^{\text{th}}$ પદ એટલે કે $n^{\text{th}}$ અને $(n+1)^{\text{th}}$ પદ છે.
આ પદોના સહગુણકો અનુક્રમે $^{2n-1}C_{n-1}$ અને $^{2n-1}C_{n}$ છે.
નિત્યસમ $^{n}C_{r-1} + ^{n}C_{r} = ^{n+1}C_{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$^{2n-1}C_{n-1} + ^{2n-1}C_{n} = ^{2n}C_{n}$.
આમ,$(1+x)^{2n}$ ના મધ્યમ પદનો સહગુણક એ $(1+x)^{2n-1}$ ના બે મધ્યમ પદોના સહગુણકોના સરવાળા બરાબર છે.