સાબિત કરો કે $6q + r$ સ્વરૂપના ધન પૂર્ણાંકનો ઘન,જ્યાં $q$ પૂર્ણાંક છે અને $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે,તે પણ $6m + r$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની રીત મુજબ,કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક $a$ અને $6$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ મળે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 6$.
બંને બાજુ ઘન લેતા:
$a^3 = (6q + r)^3 = 216q^3 + r^3 + 3(6q)(r)(6q + r)$
$a^3 = (216q^3 + 108q^2r + 18qr^2) + r^3 \quad \dots(i)$
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$ હોય,તો $a^3 = 216q^3 = 6(36q^3) = 6m$,જ્યાં $m = 36q^3$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 108q^2 + 18q) + 1 = 6(36q^3 + 18q^2 + 3q) + 1 = 6m + 1$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 216q^2 + 72q) + 8 = (216q^3 + 216q^2 + 72q + 6) + 2 = 6(36q^3 + 36q^2 + 12q + 1) + 2 = 6m + 2$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 324q^2 + 162q) + 27 = (216q^3 + 324q^2 + 162q + 24) + 3 = 6(36q^3 + 54q^2 + 27q + 4) + 3 = 6m + 3$.
કિસ્સો $V$: જો $r = 4$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 432q^2 + 288q) + 64 = (216q^3 + 432q^2 + 288q + 60) + 4 = 6(36q^3 + 72q^2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4$.
કિસ્સો $VI$: જો $r = 5$ હોય,તો $a^3 = (216q^3 + 540q^2 + 450q) + 125 = (216q^3 + 540q^2 + 450q + 120) + 5 = 6(36q^3 + 90q^2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5$.
આમ,$6q + r$ સ્વરૂપના કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $6m + r$ સ્વરૂપમાં હોય છે.