सिद्ध कीजिए कि $6q + r$ के रूप के एक धनात्मक पूर्णांक का घन,जहाँ $q$ एक पूर्णांक है और $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ है,वह भी $6m + r$ के रूप का होता है।

(N/A) माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ और $6$ के लिए,ऐसे अऋणात्मक पूर्णांक $q$ और $r$ विद्यमान हैं कि $a = 6q + r$,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
दोनों पक्षों का घन करने पर:
$a^3 = (6q + r)^3 = 216q^3 + r^3 + 3(6q)(r)(6q + r)$
$a^3 = (216q^3 + 108q^2r + 18qr^2) + r^3 \quad \dots(i)$
स्थिति $I$: यदि $r = 0$ है,तो $a^3 = 216q^3 = 6(36q^3) = 6m$,जहाँ $m = 36q^3$ है।
स्थिति $II$: यदि $r = 1$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 108q^2 + 18q) + 1 = 6(36q^3 + 18q^2 + 3q) + 1 = 6m + 1$ है।
स्थिति $III$: यदि $r = 2$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 216q^2 + 72q) + 8 = (216q^3 + 216q^2 + 72q + 6) + 2 = 6(36q^3 + 36q^2 + 12q + 1) + 2 = 6m + 2$ है।
स्थिति $IV$: यदि $r = 3$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 324q^2 + 162q) + 27 = (216q^3 + 324q^2 + 162q + 24) + 3 = 6(36q^3 + 54q^2 + 27q + 4) + 3 = 6m + 3$ है।
स्थिति $V$: यदि $r = 4$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 432q^2 + 288q) + 64 = (216q^3 + 432q^2 + 288q + 60) + 4 = 6(36q^3 + 72q^2 + 48q + 10) + 4 = 6m + 4$ है।
स्थिति $VI$: यदि $r = 5$ है,तो $a^3 = (216q^3 + 540q^2 + 450q) + 125 = (216q^3 + 540q^2 + 450q + 120) + 5 = 6(36q^3 + 90q^2 + 75q + 20) + 5 = 6m + 5$ है।
अतः,$6q + r$ के रूप के किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन $6m + r$ के रूप का होता है।