સાબિત કરો કે કોઈપણ અયુગ્મ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એક અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $b=4$ માટે,$a = 4k + r$ મળે,જ્યાં $0 \leq r < 4$.
$a$ અયુગ્મ હોવાથી,$r$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $3$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: જો $r = 1$ હોય,તો $a = 4k + 1$.
$a^2 = (4k + 1)^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1$.
ધારો કે $q = 4k^2 + 2k$,જે એક પૂર્ણાંક છે. આમ,$a^2 = 4q + 1$.
કિસ્સો $2$: જો $r = 3$ હોય,તો $a = 4k + 3$.
$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 16k^2 + 24k + 8 + 1 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$.
ધારો કે $q = 4k^2 + 6k + 2$,જે એક પૂર્ણાંક છે. આમ,$a^2 = 4q + 1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,અયુગ્મ પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q + 1$ સ્વરૂપમાં મળે છે.