સાબિત કરો કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પણ પૂર્ણાંક $m$ માટે $6m+2$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ધારો કે $a$ એક સ્વૈચ્છિક ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગવિધિ મુજબ,ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $6$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 6q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 6$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (6q + r)^2 = 36q^2 + 12qr + r^2 = 6(6q^2 + 2qr) + r^2$. આને સમીકરણ $(i)$ કહો.
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$,તો $a^2 = 6(6q^2) = 6m$,જ્યાં $m = 6q^2$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 2q) + 1 = 6m + 1$,જ્યાં $m = 6q^2 + 2q$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 4q) + 4 = 6m + 4$,જ્યાં $m = 6q^2 + 4q$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 6q) + 9 = 6(6q^2 + 6q + 1) + 3 = 6m + 3$,જ્યાં $m = 6q^2 + 6q + 1$.
કિસ્સો $V$: જો $r = 4$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 8q) + 16 = 6(6q^2 + 8q + 2) + 4 = 6m + 4$,જ્યાં $m = 6q^2 + 8q + 2$.
કિસ્સો $VI$: જો $r = 5$,તો $a^2 = 6(6q^2 + 10q) + 25 = 6(6q^2 + 10q + 4) + 1 = 6m + 1$,જ્યાં $m = 6q^2 + 10q + 4$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ માત્ર $6m, 6m+1, 6m+3,$ અથવા $6m+4$ સ્વરૂપમાં જ હોઈ શકે છે. તેથી,તે $6m+2$ અથવા $6m+5$ સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.