સાબિત કરો કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈ પૂર્ણાંક $q$ માટે $4q$ અથવા $4q+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ એક સ્વૈચ્છિક ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડની ભાગાકારની પ્રવિધિ મુજબ,પૂર્ણાંકો $a$ અને $4$ માટે,એવા અનૃણ પૂર્ણાંકો $m$ અને $r$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $a = 4m + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 = (4m + r)^2 = 16m^2 + 8mr + r^2 = 4(4m^2 + 2mr) + r^2$ મળે.
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$ હોય,તો $a^2 = 4(4m^2) = 4q$,જ્યાં $q = 4m^2$ છે.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$ હોય,તો $a^2 = 4(4m^2 + 2m) + 1 = 4q + 1$,જ્યાં $q = 4m^2 + 2m$ છે.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$ હોય,તો $a^2 = 16m^2 + 16m + 4 = 4(4m^2 + 4m + 1) = 4q$,જ્યાં $q = 4m^2 + 4m + 1$ છે.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$ હોય,તો $a^2 = 16m^2 + 24m + 9 = 16m^2 + 24m + 8 + 1 = 4(4m^2 + 6m + 2) + 1 = 4q + 1$,જ્યાં $q = 4m^2 + 6m + 2$ છે.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ $4q$ અથવા $4q + 1$ સ્વરૂપમાં હોય છે.