સાબિત કરો કે $A.P.$ ના $(m+n)^{th}$ અને $(m-n)^{th}$ પદનો સરવાળો $m^{th}$ પદના બમણા જેટલો થાય છે.

ધારો કે $a$ અને $d$ એ $A.P.$ ના પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ નું $k^{th}$ પદ $a_{k} = a + (k - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$a_{m+n} = a + (m + n - 1)d$ અને $a_{m-n} = a + (m - n - 1)d$.
વળી,$m^{th}$ પદ $a_{m} = a + (m - 1)d$ છે.
હવે,$(m+n)^{th}$ અને $(m-n)^{th}$ પદનો સરવાળો:
$a_{m+n} + a_{m-n} = [a + (m + n - 1)d] + [a + (m - n - 1)d]$
$= 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d$
$= 2a + (2m - 2)d$
$= 2a + 2(m - 1)d$
$= 2[a + (m - 1)d]$
$= 2a_{m}$
આમ,$A.P.$ ના $(m+n)^{th}$ અને $(m-n)^{th}$ પદનો સરવાળો $m^{th}$ પદના બમણા જેટલો છે.