निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को आलेखीय विधि से हल कीजिए:
अधिकतम कीजिए $Z = 4x + y$......$(1)$
अवरोधों के अंतर्गत:
${x + y \leqslant 50}$.......$(2)$
${3x + y \leqslant 90}$......$(3)$
${x \geqslant 0, y \geqslant 0}$......$(4)$

उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ के लिए,बाधाओं $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y \leqslant 0$,$x \geqslant 0$,$y \geqslant 0$ के अंतर्गत अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर क्या है?

असमिकाएं $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,$x_{1}, x_{2} \geq 0$ क्या परिभाषित करती हैं?

एक निर्माता नट और बोल्ट का उत्पादन करता है। नट के एक पैकेज का उत्पादन करने के लिए मशीन $A$ पर $1\, \text{घंटा}$ और मशीन $B$ पर $3\, \text{घंटे}$ का काम लगता है। बोल्ट के एक पैकेज का उत्पादन करने के लिए मशीन $A$ पर $3\, \text{घंटे}$ और मशीन $B$ पर $1\, \text{घंटा}$ का काम लगता है। वह नट पर प्रति पैकेज $Rs.\,17.50$ और बोल्ट पर प्रति पैकेज $Rs.\,7$ का लाभ कमाता है। यदि वह अपनी मशीनों को दिन में अधिकतम $12\, \text{घंटे}$ तक चलाता है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए उसे प्रतिदिन प्रत्येक के कितने पैकेज का उत्पादन करना चाहिए?

एक फल उत्पादक अपने बगीचे में दो प्रकार के उर्वरक,ब्रांड $P$ और ब्रांड $Q$ का उपयोग कर सकता है। प्रत्येक ब्रांड के एक बैग में नाइट्रोजन,फॉस्फोरिक एसिड,पोटाश और क्लोरीन की मात्रा ($kg$ में) तालिका में दी गई है। परीक्षणों से पता चलता है कि बगीचे को कम से कम $240 \, kg$ फॉस्फोरिक एसिड,कम से कम $270 \, kg$ पोटाश और अधिकतम $310 \, kg$ क्लोरीन की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बगीचे में जोड़े गए नाइट्रोजन की मात्रा को अधिकतम करना चाहता है,तो प्रत्येक ब्रांड के कितने बैग जोड़े जाने चाहिए? जोड़े गए नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?

	ब्रांड $P$ ($kg$ प्रति बैग)	ब्रांड $Q$ ($kg$ प्रति बैग)
नाइट्रोजन	$3$	$3.5$
फॉस्फोरिक एसिड	$1$	$2$
पोटाश	$3$	$1.5$
क्लोरीन	$1.5$	$2$

छात्रवृत्ति की राशि $z = 550x + 300y$ द्वारा दी गई है और इसे $x$ लड़कों और $y$ लड़कियों के बीच वितरित किया जाना है। नीचे दिए गए ग्राफ से,छात्रवृत्ति की अधिकतम राशि . . . . . . है।