बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
बिंदु $A(-6, 10)$,$B(-4, 6)$ और $C(3, -8)$ संरेख हैं और इस प्रकार हैं कि $AB = \frac{2}{9} AC$ है।

(A) सत्य।
सबसे पहले,हम यह जांचते हैं कि क्या बिंदु संरेख हैं,इसके लिए हम उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यहाँ,$x_1 = -6, x_2 = -4, x_3 = 3$ और $y_1 = 10, y_2 = 6, y_3 = -8$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -6(6 - (-8)) + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6) |$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -6(14) + (-4)(-18) + 3(4) |$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -84 + 72 + 12 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0$.
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।
अब,दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $AB$ और $AC$ की दूरी ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(-4 - (-6))^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-8 - 10)^2} = \sqrt{9^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
अब,संबंध $AB = \frac{2}{9} AC$ की जांच करते हैं:
$\frac{2}{9} AC = \frac{2}{9} \times 9\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
चूंकि $AB = 2\sqrt{5}$ है,इसलिए यह संबंध सत्य है।