कथन -1: sum_{r=0}^{n} (r+1) binom{n}{r} = (n+ | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r$.इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^r + \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$ के रूप में लिखा जा

Vedclass · Accepted Answer

कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है

Vedclass · Answer

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r$.इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^r + \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$ के रूप में लिखा जा सकता है।सर्वसमिका $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर:$S = \sum_{r=1}^{n} n \binom{n-1}{r-1} x^r + (1+x)^n$$S = nx \sum_{r=1}^{n} \binom{n-1}{r-1} x^{r-1} + (1+x)^n$$S = nx(1+x)^{n-1} + (1+x)^n$.अतः,कथन $-2$ सत्य है।कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,कथन $-2$ के परिणाम में $x=1$ रखने पर:$S(1) = n(1)(1+1)^{n-1} + (1+1)^n = n 2^{n-1} + 2^n = 2^{n-1} (n + 2)$.अतः,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$
कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$

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यदि $^nC_r = C_r$ और $2 \frac{C_1}{C_0} + 4 \frac{C_2}{C_1} + 6 \frac{C_3}{C_2} + \dots + 2n \frac{C_n}{C_{n-1}} = 650$ है,तो $^nC_2 =$

निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

यदि $n$,$1$ से बड़ा एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $3({ }^n C_0) - 8({ }^n C_1) + 13({ }^n C_2) - 18({ }^n C_3) + \ldots$ $(n+1)$ पदों तक $=$

यदि $n$,$1$ से बड़ा एक पूर्णांक है,तो $a - ^nC_1(a - 1) + ^nC_2(a - 2) + \dots + (-1)^n(a - n) = $

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कथन $-1$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} = (n+2) 2^{n-1}$कथन $-2$: $\sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r = (1+x)^n + nx(1+x)^{n-1}$