bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z को संतुष्ट करने | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) दिया गया समीकरण: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$माना $z = x + iy$. तब $z + \bar{z} =

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = (1 + i) z^{2}$माना $z = x + iy$. तब $z + \bar{z} = 2x$.अतः,$2x = (1 + i)(x + iy)^{2} = (1 + i)(x^{2} - y^{2} + 2xyi)$.$2x = (x^{2} - y^{2} - 2xy) + i(x^{2} - y^{2} + 2xy)$.वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:$1) \ 2x = x^{2} - y^{2} - 2xy$$2) \ 0 = x^{2} - y^{2} + 2xy \Rightarrow x^{2} - y^{2} = -2xy$.$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2x = -2xy - 2xy = -4xy$.$2x(1 + 2y) = 0$,अतः $x = 0$ या $y = -1/2$.यदि $x = 0$,तो $(2)$ से,$y^{2} = 0 \Rightarrow y = 0$. अतः $z = 0$,$|z|^{2} = 0$.यदि $y = -1/2$,तो $(2)$ से,$x^{2} - (-1/2)^{2} = -2x(-1/2)$ $\Rightarrow x^{2} - 1/4 = x$ $\Rightarrow 4x^{2} - 4x - 1 = 0$.हल $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$ है।इन मानों के लिए,$|z|^{2} = x^{2} + y^{2} = x^{2} + 1/4$.$4x^{2} - 4x - 1 = 0$ से,$x^{2} = x + 1/4$.अतः $|z|^{2} = x + 1/4 + 1/4 = x + 1/2$.$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{1}|^{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.$x_{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ के लिए,$|z_{2}|^{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.मापांक के वर्गों का योग: $0 + (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2$.

$\bar{z} = i z^{2} + z^{2} - z$ को संतुष्ट करने वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ के मापांक के वर्गों का योग किसके बराबर है?

Similar Questions

दिया गया है कि समीकरण $z^2 + (p + iq)z + r + is = 0$,जहाँ $p, q, r, s$ वास्तविक और शून्येतर हैं,का एक वास्तविक मूल है,तो:

मान लीजिए $S = \{z \in \mathbb{C} : \bar{z} = i(z^2 + \operatorname{Re}(\bar{z}))\}$ है। तो $\sum_{z \in S} |z|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left(\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}\right)^3$ का मान है

यदि $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ पूर्णतः वास्तविक है,तो $\cos ^3 \theta+\sin ^2 \theta+\cos \theta+1=$

यदि $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2024}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2025}=x+i y$ है,तो $\theta=\frac{\pi}{2}$ पर $x+y$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module