अनंत श्रेणी 1 + 2 + frac{1}{2!} + frac{2}{3!} | vedclass

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Question

(D) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + 2 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{2}{5!} + \dots$ है।हम श्रेणी को अंश में $1$ वाले पदों और अंश में

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$\frac{3e - e^{-1}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + 2 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{2}{5!} + \dots$ है।हम श्रेणी को अंश में $1$ वाले पदों और अंश में $2$ वाले पदों को अलग करके फिर से लिख सकते हैं:$S = (1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots) + 2(1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots)$$e$ और $e^{-1}$ के लिए मानक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं:$e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots$$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$अतः,$\frac{e + e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \dots$ और $\frac{e - e^{-1}}{2} = 1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + \dots$इन मानों को $S$ के समीकरण में रखने पर:$S = \frac{e + e^{-1}}{2} + 2 \left( \frac{e - e^{-1}}{2} \right)$$S = \frac{e + e^{-1} + 2e - 2e^{-1}}{2} = \frac{3e - e^{-1}}{2}$.

अनंत श्रेणी $1 + 2 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{2}{5!} + \dots$ का योग क्या है?

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