मान लीजिए X एक द्विपद वितरण का अनुसरण करता है | vedclass

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Question

(A) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q = 1-p$ है। हमें अनुपात $\frac{P(X=r)}{P(

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$\frac{1}{2}$

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(A) द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = { }^n C_r p^r q^{n-r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q = 1-p$ है। हमें अनुपात $\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)}$ दिया गया है। सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{{ }^n C_r p^r q^{n-r}}{{ }^n C_{n-r} p^{n-r} q^r}$. चूँकि ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$, व्यंजक इस प्रकार सरल होता है: $\frac{P(X=r)}{P(X=n-r)} = \frac{p^r q^{n-r}}{p^{n-r} q^r} = \left(\frac{p}{q}\right)^{r - (n-r)} = \left(\frac{p}{q}\right)^{2r-n} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2r}$. इस व्यंजक के $n$ से स्वतंत्र होने के लिए, आधार $1$ होना चाहिए। अतः, $\frac{q}{p} = 1$, जिसका अर्थ है $q = p$। चूँकि $p + q = 1$, हमें $p + p = 1$ प्राप्त होता है, जिससे $2p = 1$ मिलता है। इसलिए, $p = \frac{1}{2}$।

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